Матвеева В. А., Самсикова Н. А. | МЕТОД КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОДАРЕННОСТИ

Матвеева В. А., кандидат педагогических наук, ФГБОУ ВО СахГУ, Южно-Сахалинск

e—mail: matveeva89.ru@mail.ru

Самсикова Н. А., доцент, кандидат педагогических наук,  ФГБОУ ВО СахГУ, Южно-Сахалинск

e—mail: n.samsikova@mail.ru

Актуальность развития математической одаренности определена вызовами современного общества. Развитие в таких областях как искусственный интеллект, криптография, машинное обучение определено внедрением новых математических алгоритмов. Математическая одаренность является сложным мультикомпонентным качеством личности, которое следует рассматривать с точки рения различных схем математического мышления. Развитие математической одаренности как правило связывают с решением нестандартных задач, что бесспорно является верным, но обучение математике уже должно включать многообразие математических приемов, способов рассуждения. Система ключевых задач по методу Р.Г. Хазанкина является базовым приемом в обучении, обеспечивающим системность математического мышления. Метод ключевых задач основан на следующих принципах: последовательность, разнообразие, креативность. Обучение математике без рассуждений и доказательств невозможно и метод ключевых задач выступает эффективным средством в развитии математической одаренности.

The relevance of the development of mathematical talent is determined by the challenges of modern society. Development in such areas as artificial intelligence, cryptography, machine learning is determined by the introduction of new mathematical algorithms. Mathematical talent is a complex multicomponent personality quality that should be considered from the point of view of various schemes of mathematical thinking. The development of mathematical talent is usually associated with solving non-standard problems, which is undoubtedly true, but teaching mathematics should already include a variety of mathematical techniques and methods of reasoning. System of key tasks according to the method of R.G. Khazankina is a basic teaching technique that ensures systematic mathematical thinking. The key task method is based on the following principles: consistency, variety, creativity. Teaching mathematics without reasoning and proof is impossible, and the method of key problems is an effective tool in the development of mathematical talent.

Проблема математической одаренности всегда привлекала внимание исследователей и на сегодняшний день она является одной из наиболее важных. Объяснить это можно несколькими причинами: 1) в развитии компьютерных технологий, технологизации современного общества ключевую роль играет математика. Развитие в таких областях как искусственный интеллект, криптография, машинное обучение и др. невозможно без математических алгоритмов; 2) математическая одаренность является ключевым фактором общего уровня образования, поскольку важна не только для математики как науки, но и других областей знаний, где математика играет ключевую роль. В частности, математические методы необходимы для решения важных социальных проблем, таких как: управление ресурсами, оптимизация транспортных систем, моделирование экономических систем, мировых эпидемий и др. [2].

Исследовать математическую одаренность не просто, данное качество личности мультикомпонентно, поэтому является достаточно сложным в оценке.  Согласно исследованиям В. А. Тестова математическую одаренность следует рассматривать с точки зрения совокупности когнитивных систем, которые автор определяет как схемы математического мышления: логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические [4, с. 63].  Способ мышления во многом зависит от индивидуальных особенностей, характеризующих подход в восприятии, способе обработки, анализа информации. В.А. Крутецкий выделяет три типа математического мышления: абстрактно-аналитический, образно-геометрический и гармонический. Абстрактно-аналитический тип мышления характерен при оперировании абстрактными формами, отвлеченными от конкретных явлений, процессов, объектов. При образно-геометрическом типе мышления важны конкретные конфигурации, модели, анализ которых позволяет извлекать новую информацию. Для гармонического же типа мышления характерны обе схемы анализа [1]. Сами математики отмечают, что математическое мышление связано, прежде всего, с формализацией изучаемых структур, способностью к обобщениям, логической строгости, лаконичности, аргументированности в рассуждениях. Академик А.Н. Колмогоров отмечал, что память не определяет способность к математике. Так выдающаяся способность запоминать числа и формулы не является определяющим фактором математической направленности ума. Только рассуждения, способность получать обобщенные выводы оперируя формальными объектами можно трактовать как математическую одаренность. Как отмечал И.Ф. Шарыгин «…знания, может быть, являются не самым важным элементом, не самой главной целью. Целью математики является не получение знания, а сам процесс обучения» [3].

На наш взгляд процесс обучения математике, где высшей ценностью выступает процесс рассуждений и является основой для формирования математической одаренности. Таким образом, развитие математической одаренности связано, прежде всего, с навыками логического мышления, аргументацией, со специфическими математическими методами и приемами. Решение математических задач является основным видом деятельности при обучении математике. Развить математические способности без достаточного опыта решения математических задач невозможно. Развитие универсальных приемов математического мышления в большей мере связано с нестандартными математическими задачами, которые, как правила, не направлены на усвоение отдельных математических фактов. Следует также заметить, что общий уровень математической подготовки имеет прямую корреляционную связь со способностью решать нестандартные математические задачи. Рациональным способом преодоления дефицита математических приемов является система задач, направленная на его определение, изучение и исследование области применения математического знания. С позиции построения эффективной системы математических задач следует отметить метод ключевых задач Р.Г. Хазанкина. Ключевая задач выступает опорой при решении других более сложных, в том числе и нестандартных задач [5]. Система ключевых задач, отражающая многообразие математических приемов, основана на следующих принципах:

• Последовательность. Уровень сложности в системе повышается постепенно.
• Разнообразие. Задачи направлены на обширный охват математических фактов.
• Креативность. Система задач направлена на стимулирование поиска нестандартных решений, определение новых математических фактов и приемов при самостоятельном решении задач.

Например, при изучении признака делимости на три нельзя только путем умозаключения неполная индукция получить, что сумма цифр чисел, которые делятся на три, также кратна трем. Не стоит забывать, что обобщение путем неполной индукции не является доказательством! В данном случае этот прием можно применить для выдвижения гипотезы, которую необходимо доказать, то есть показать справедливость утверждения для всех целых чисел. Таким образом, доказательство признака делимости и является ключевой задачей. Но для формирования системы математических приемов следует рассмотреть различные подходы в доказательстве:

1. Доказательство путем преобразований числа, записанного в виде суммы разрядных единиц.

Рассмотрим  :  , где цифры числа, записанного в десятичной позиционной системе счисления (). Заметим, что можно выполнить равносильное преобразование: прибавить и вычесть одно и тоже число (цифру) отличное от нуля. Получим выражение:  . Выполним дальнейшие преобразования.

. Дальнейшие рассуждения приводят к выводу, что выражения  кратны трем. Тогда имеем, что число  кратно трем, если сумма цифр кратна трем. Не стоит забывать, что данное утверждение является критерием, что означает доказательство двух утверждений  и.

2. Доказательство путем сравнений.

Вспомним, что система остатков при делении целых чисел на три состоит всего из трех элементов: ,  и . Рассмотрим  :  , где цифры числа, записанного в десятичной позиционной системе счисления (). Найдем остатки от деления всех разрядов числа  на три. Заметим, что  при делении на три имеет остаток 1. Тогда число . Рассуждения также строим с позиции критерия.

Такой подход к обучению математике дает фундамент математических приемов необходимых для решения нестандартных задач. Поскольку решение таких задачи не является запросом на сложную цепочку математических фактов состоящую из формул, правил и определений. Математика, сводящаяся к системе формул, правил и алгоритмов, уже не является математикой.

Изучение одной ключевой задачи из темы «Делимость» позволило затронуть вопросы: формальной логики и структуры теоремы, общей формы записи числа в позиционной системе счисления, равносильных преобразований, системе остатков от деления на три. Таким образом, одна задача показывает различные математические приемы и способствует формированию системного математического мышления.

 

Список литературы

1. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. 431 с.
2. Матвеева, В.А. Формирование алгоритмического мышления как значимого профессионального умения учителей начальных классов в современном информационном обществе / В.А. Матвеева // Шамовские чтения: Сборник статей XVI Международной научно-практической конференции. В 2-х томах, москва, 25 января – 03 2024 года. – Москва: Научная школа управления образовательными системами, 2024. С. 329-331.
3. Математическое образование в XXI веке // «НГ-Наука». 2000. № 9. (URL: https://bio.spbu.ru/science/scienceinfo/el_resourse.php) (дата обращения: 11.11.2024)
4. Тестов, В. А. Математическая одаренность и ее развитие / В. А. Тестов // Перспективы науки и образования. 2014. № 6. С. 60–67.
5. Хазанкин Р. Г., Зильберберг Н. И. Ключевые задачи в обучении математике // Учитель Башкирии. 1984. № 9. С. 58–61.