Глизбург В. И.| ГЕНЕЗИС ТОПОЛОГИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

профессор Департамента методики обучения Института педагогики и психологии образования Московского городского педагогического университета, г. Москва.  Е-mail: glizburg@mail.ru

В статье представлен генезис топологии и дифференциальной геометрии с позиций обучения этим дисциплинам; рассмотрены философские проблемы обоснования топологии и дифференциальной геометрии в частности и математики в целом; представлены основные подходы к обоснованию математических дисциплин: логицистский, интуиционистский, формалистский, системный.

 

Для истории математики вообще и геометрии в частности характерно явление полифуркации. История развития геометрии непосредственно связана с развитием цивилизации, в особенности техногенной.

Техногенная цивилизация по [13] представляет собой тип социального развития, характеризуемый высокой скоростью социальных изменений, интенсивностью развития материальных оснований общества, перестройкой оснований жизнедеятельности человека. На одном из самых высоких мест в иерархии ценностей техногенной цивилизации расположена автономия личности. Для культуры техногенного мира характерен такой аспект ценностных и мировоззренческих ориентаций, «как понимание природы как упорядоченного, закономерно устроенного поля, в котором разумное существо, познавшее законы природы, способно осуществить свою власть над внешними процессами и объектами, поставить их под свой контроль. … Ценность научной рациональности и ее активное влияние на другие сферы культуры – характерные признаки жизни техногенных обществ» [13].

В истории развития техногенной цивилизации можно выделить четыре основных этапа:

1. Античная культура, породившая два достижения – демократию и теоретическую науку.
2. Средневековье, для которого характерен культ человеческого разума.
3. Эпоха Ренессанса, во время которой закладываются основы культуры техногенной цивилизации. На этом этапе цивилизация проходит три стадии своего развития – предындустриальную, индустриальную и постиндустриальную. На последней стадии развития за счет интеграции научных знаний и их внедрения в технологические процессы развивается техника и новые технологии.
4. Современная цивилизация, для которой характерны тенденции глобальной гуманитаризации общественных процессов, информатизации, активное внедрение научных достижений в технико-технологические процессы.

Согласно [13], [14] относительно зарождения научных знаний и науки имеется пять точек зрения:

1. Наука возникла одновременно с зарождением человечества на основе любознательности, присущей человеку;
2. Наука возникла в Древней Греции на основе первых попыток теоретического обоснования знаний;
3. Наука возникла в Западной Европе в 12 – 14 веках на основе интереса к опытному знанию и математике;
4. Наука появилась в 16 – 17 веках на базе работ Г. Галилея, И. Кеплера, И. Ньютона со времени создания теоретической модели физики на языке математики;
5. Наука появилась в начале 19 века с момента объединения исследовательской деятельности с высшим образованием.

Не вдаваясь в дальнейшие подробности обоснования перечисленных точек зрения, отметим, что факт возникновения науки имеет важное методологическое значение для определения природы науки и ее статуса в обществе.

В истории развития математики, соответствующей истории развития цивилизации, можно выделить [17] следующие основные этапы:

1. Первичная математика, абстрактная додедуктивная математика (Древний Египет, Древний Вавилон, 17 в до н.э. – 4-5 вв. до н.э.);
2. Теоретическая, дедуктивная математика постоянных величин (Древняя Греция, средние века, 5 в до н.э. – 15-16 вв.);
3. Математика переменных величин (17 – 19 вв.);
4. Современная математика абстрактных структур [4], [5], [16], зародившаяся с появлением неевклидовых геометрий и развивающаяся по настоящее время.

Уже на первом этапе существовали представления о простейших геометрических фигурах. Тогда же возникло и понятие числа.  В Древнем Египте и Древнем Вавилоне были сформулированы задачи о вычислениях площадей круга, поверхности шара и пирамиды. Об этом свидетельствуют египетские папирусы. Математика того времени не была дедуктивной, но уже к концу рассматриваемого этапа была абстрактной и выходила в своих решениях за пределы практики.

В Древней Греции, где в то время развивалась софистика – искусство доказательства логических утверждений, математика перешла на новый уровень, предложив в качестве основы математического метода доказательство. Именно древнегреческая наука создала дедуктивный способ построения теории, в соответствии с которым все утверждения выводятся с помощью методов формальной логики из некоторых не доказываемых утверждений – аксиом. Тем самым была создана методологическая парадигма, остававшаяся неизменной до 17 века. Особая роль в Древней Греции была отведена геометрии, геометрическим преобразованиям, в частности преобразованиям симметрии. Древние греки считали, что Вселенная симметрична. Топологически правильные многогранники привлекали внимание как математиков и астрономов, так и скульпторов, художников. Зачатки топологии как науки, во многом определяющей познание реального мира, проявились в средние века. Иоганн Кеплер (16 – 17 вв.) предполагал, что строение Солнечной системы представляет собой  геометрическую конструкцию, состоящую из топологически правильных многогранников и гомеоморфной им сферы. В приводимой ниже цитате из книги [16] используется термин «шар»: «Вообразим себе шар с центром в Солнце, описанный радиусом, равным радиусу орбиты Сатурна, впишем в этом шар куб. Тогда орбита Юпитера будет находиться на поверхности шара, вписанном в этот куб. Если вписать в этот последний шар тетраэдр, а в тетраэдр снова вписать шар, то на поверхности этого шара будет находиться орбита Марса. Так надо продолжать, описывая и вписывая шары, и поместив между Марсом и Землей додекаэдр, между Землей и Венерой икосаэдр, а между Венерой и Меркурием октаэдр». С открытием Урана, Нептуна и Плутона топологическая конструкция строения Солнечной системы по Кеплеру рушится, что ни в коей мере не умаляет значения топологии и ее роль в восприятии и понимании взаимосвязей и целостности реального мира.

Рассматривая топологию как философию восприятия топологической структуры мира, мы трактуем ее [8], [11] как направленную на выработку мировоззрения форму способности воспроизведения процесса приема и преобразования информации [9], [10], который обеспечивает отражение окружающего мира в его системе сложных непрерывных взаимосвязей, постижение и применение системообразующих оснований и глубинных связей, инвариантных под воздействием многообразных деформирующих процессов реальности, выработку на основе этого системы идей, целостных структур, взглядов на мир в его взаимозависимостях.

В конце 18 века произошла революция в математике, открывшая новые типы задач и методы их решения.

В 19 веке начато, а в 20-21 вв. – продолжено интенсивное развитие неевклидовых геометрий, что привело к идеям многомерного искривленного пространства, проективной метрики, теории групп.

Интерес представляют философские проблемы обоснования топологии и дифференциальной геометрии в частности и математики в целом. Согласно [17] существующие подходы к обоснованию классифицированы следующим образом: логицистский, интуиционистский, формалистский, системный.

Логицистский подход проистекает из идеи Лейбница о сводимости математики к логике. Согласно данному подходу все математические понятия и теоремы могут быть определены и представлены на основе и в виде логических  суждений. Яркими представителями данного подхода были Г. Фреге [20],  А. Рассел и Б. Уайтхед [21].

Интуиционистский подход основывается на следующих положениях Л. Брауэра, который рассматривает исходные математические объекты интуитивно данными [17], [18]:

1. Признание исходных математических объектов в качестве существующих на основе непосредственной, содержательной суперпростой (глобальной) интуиции.
2. Построение новых производных объектов возможно только из исходных по контролем глобальной интуиции.
3. Расширение математического знания посредством логики законно в том и только том случае, когда оно соответствует возможностям его интуиционистского контроля и обоснования.

В формалистском подходе, предложенным Д. Гильбертом, целью обоснования математики является обоснование непротиворечивости одной математической теории на основе рассуждений другой математической теории, так называемой метатеории, которая является непротиворечивой.

Д. Гильбертом сформулированы принципы финитизма, представляющие собой требования, которым должна удовлетворять метатеория [2], [3].

Метатеория является:

1. синтаксической, поскольку она имеет дело со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре;
2. содержательной, поскольку она относится к формализму как к своему единственному предмету и в предпосылках не выходит за рамки его свойств;
3. финитной, поскольку она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допущением актуальной бесконечности;
4. конструктивной, поскольку всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть обосновано его построением.

Идея системного подхода, основанного на понимании эволюции математических структур, усложняющих свою организацию применительно к определенным функциям, принадлежит Э. Гуссерлю [12].

При всем многообразии рассмотренных подходов к обоснованию математики стержневой идеей философии математики мы считаем является осознание необходимости категориальной, философской по своей сути, основы всех математических идеализаций и логического оперирования с ними.

Геометрия как область математики развивалась параллельно с историей развития человечества.

В историческом развитии геометрии можно выделить четыре основных этапа, соответствующие этапам развития математики и общества. Остановимся на обозначении основных дат и более подробно осветим историю развития топологии и дифференциальной геометрии

Первый этап развития геометрии приходится на период с 17 в. до н. э. по 4-5 вв. до н. э. и протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В 7-4 веках до н.э. в Древней Греции имел место переход в математике от количественных отношений эмпирических объектов к пониманию идеальных математических объектов. Именно на основе этих идей и возникла евклидова геометрия.

Второй этап в развитии геометрии начинается с 4-5 вв. до н. э. и продолжается до 15-16 вв. н.э.  Его развитие приходится в основном на Древнюю Грецию. С этого времени известны первые упоминания о систематическом изложении геометрии. Этот период в первую очередь связан с именами философов и математиков: Гиппократом Хиосским, Евклидом, Архимедом, Аполлонием Пергским, Гиппархом, Менелаем. После упадка античного общества развитие геометрии проистекало в Индии, Средней Азии, на арабском Востоке.

Всплеск геометрической науки приходится на Эпоху Возрождения в Европе – этот этап принято считать третьим. В первой половине 17 в. Р. Декарт ввел метод координат,  который связал геометрические исследования с алгеброй и анализом. Применение алгебраических и аналитических методов исследования породило развитие дифференциальной геометрии. На третий период развития приходится время создания дифференциальной геометрии (18 век) в результате работ Л. Эйлера и  Г. Монжа, который в 1795 году написал исторически первое сочинение «Приложение анализа к геометрии» по теории поверхностей в дифференциальной геометрии. В 1828 году К. Гаусс продолжил дифференциально-геометрические исследования, написав работу «Общие исследования о кривых поверхностях», заложив тем самым основы теории поверхности в ее классической современной форме. Потребности науки и техники, механики, астрофизики привели в 17-18 веках к развитию математики переменных величин, а в 19 веке — к созданию неевклидовых геометрий.

Начало четвертого этапа в развитии геометрии приходится на создание неевклидовых геометрий, открытие которых сыграло огромную роль в развитии всей геометрии и, в том числе, дифференциальной.  Данный этап протекает по настоящее время и охватывает фактически все мировое сообщество.  Принципиальный шаг в развитии дифференциальной геометрии связан с исследованиями Б. Римана, который в 1854 году в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии», опубликованной в 1867 году, фактически заложил основы римановой геометрии, представляющей собой одну из основополагающих ветвей современной дифференциальной геометрии, выдвинув общую идею многомерного искривленного пространства, частным случаем которого является пространство Лобачевского. В 1859 г. Кели в “Шестом мемуаре о формах” выдвигает другую идею, обобщающую геометрию Лобачевского, — идею проективной метрики. Размышляя о метрических геометриях, группы которых являются подгруппами проективной группы, Ф.Клейн приходит в 1872 г. к своей “Эрлангенской программе”, а идеи Клейна и собственные работы по теории дифференциальных уравнений привели Софуса Ли к теории непрерывных групп, изложенной в “Теории групп преобразований” (1888-1893 гг.). Эли Картан в своих работах существенно развил применительно к дифференциальной геометрии теоретико-групповую точку зрения Ф. Клейна на геометрию, в результате чего были созданы пространства проективной и аффинной связностей, в том числе связностей, так называемого, картанова типа.

В период четвертого этапа, в конце 19 века в самостоятельный раздел науки развилась топология. Интуитивно любому человеку понятно, что за рамками измерений длин, углов и др. величин остается что-то иное, не поддающееся простому процессу измерений. Есть еще какие-то свойства фигур, которые простым измерительным процессом не описываются, и, более того, при помощи этих свойств можно каким-либо образом классифицировать фигуры, например, по размерам, цветовому спектру, кривизне и др.

Первые топологические наблюдения связаны с именами швейцарского и российского математика Л. Эйлера (1707-1783), немецких математиков К. Гаусса (1777-1855) и Г. Римана (1826-1866).

Как раздел науки топология была основана в конце 19 века  французским математиком А. Пуанкаре (1854-1912).

Первые определения топологического про­странства предложены французским математиком  М. Р. Фреше (1878-1973), венгерским математиком Ф. Риссом (1880-1956) и немецким математиком Ф. Хаусдорфом (1868-1942). Окончательно определение топологического пространства было сформулировано польским математиком К. Куратовским (1896-1980) и отечественным математиком  П. С. Александровым (1896-1982).

В развитие топологии внесли глубокий вклад отечественные математики: П. С. Урысон (1898-1924), А. Н. Тихонов (1906-1993), Л. С. Понтрягин (1908-1988), А. Н. Колмогоров (1903-1987), С.П. Новиков (1938), А.Т. Фоменко (1945).

Существующее мировое наследие философии, математики, в частности топологии и дифференциальной геометрии, педагогики, дидактики позволяет реализовать исследования по обучению топологии [6], [7].

Топологическая подготовка имеет свои особенности в силу интенсивной математизации фундаментальных и прикладных наук, специфической трудоемкости топологии как учебного предмета, повышения уровня информатизации общества, постоянного усложнения математического образовательного контента. Понимание топологии, знание ее базовых понятий,  обладание топологической культурой существенно повышают творческий, гуманитарный потенциал личности, поднимая на качественно новый уровень понимание ею культуры, искусства, образования и своей роли в культурно-образовательном пространстве.

 

Литература

1. Аксенова М.В., Виноградова Е.П., Вирановская Е.В., Глизбург В.И. и др. Управление качеством в профессиональном образовании. / Коллективная монография под редакцией Т. И. Уткиной. Оренбург, 2012. — 203 с.
2. Гильберт Д. Избранные труды. Избранные труды. В 2 т., Т.I. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. М.: Факториал, 1998. — 578 с. 51
3. Гильберт Д. Избранные труды. Избранные труды. В 2 т., т.II. Анализ. Физика. Проблемы. М.: Факториал, 1998. — 608 с. 52
4. Глизбург В.И. Инвариантное описание обыкновенной дифференциальной системы высшего порядка.// Известия высших учебных заведений. Математика № 1, Казань, 1992. — с. 51-57.
5. Глизбург В.И. Аффинно-проективные связности картанова типа, ассоциированные с приведенными дифференциальными системами высших порядков.// Вестник Московского Университета. Серия 1, Математика. Механика. Москва, 1994, № 3. — с. 25-31.
6. Глизбург В.И. Элективное изучение топологии в старших классах средней школы как элемент единства непрерывного математического образования и пропедевтики ее изучения в вузе. // Математика в школе № 9, 2008. – C. 57-61.
7. Глизбург В.И. Топология линии как средство развития математической культуры учащихся. // Математика в школе № 10, 2008. – C. 40 — 45.
8. Глизбург В.И. Изучение топологии поверхности как инструмент повышения математической компетентности учащихся. // Математика в школе № 1, 2009. – C. 64 — 69.
9. Глизбург В. И. Информационные технологии при освоении топологических и дифференциально-геометрических знаний в условиях непрерывного математического образования // Информатика и образование № 2, 2009. – С. 122-124.
10. Глизбург В. И. Применение информационных технологий в процессе преподавания дифференциальной геометрии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». – М.: Изд-во РУДН, 2009. № 1. – С. 41-45.
11. Глизбург В. И. Гуманитарный потенциал обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики: Монография. – М.: МГПУ, М.: МГСУ, 2009. – 334 с.
12. Гуссерль Э. Начало геометрии. // Гуссерль Э. Деррида. Начало геометрии. М., 1996. – С. 210 – 246. 88
13. История и философия науки (Философия науки). Учебное пособие / под ред. Проф. Ю.В. Крянева, проф. Л.Е. Моториной: М., Альфа-М., Инфра-М. 2008. – 335 с. 124
14. Кузнецова Н.И. Статус и проблемы истории науки // Философия и методология науки. Ч. II. М., 1994. – С. 288. 157
15. Менеджмент в образовании. Примерная образовательная программа подготовки магистра по направлению 44.04.01 Педагогическое образование // Рябов В.В., Любченко О.А., Апарина Ю.И., Афанасьев В.В., Вачкова С.Н., Воропаев М.В., Глизбург В.И. и др. / Под редакцией В.В. Рябова. Москва, Издательство «Перо», 2015. 263 с.
16. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. – М., Издательство Московского университета, 1989. – 353 с. 283
17. Философия математики и технических наук. Учебное пособие для ВУЗов. Под общей редакцией С.А. Лебедева. М.: Академический проект. 2006. — 773 с. 299
18. Brouwer L. Intuitionism and Formalism. Collected Works. Vol. 1. P. 90-92. 324
19. Cartan E. La methode du repere mobile, la theorie des groupes continus et les espaces generalizes, Exposes de geometrie, vol. V. Hermann, Paris; 1935. — [207, 209], pt. 3, 1259-1320. 325
20. Frege G. On the Foundation of Geometry // The Philosophical Review. XIX. 1960. P. 15 – 17. 327
21. Whitehead A., Russel B. Principia Mathematica. V. 3 Cambridge, 1929. P. 233 — 234. 347